ガウス_レジャンドルの積分式を眺める

上図は積分点を増加させてゆくにつれて関数の求積の様子が変化していることを示すアニメの画像のスクリーンショット。URLは下記。
http://www.ecs.fullerton.edu/~mathews/a2001/Animations/Quadrature/GaussLegendre/GaussLegendreaa.html

本稿は自分用のメモを兼ねています。
１）画像の式以前にで積分点と重みの数値の精度が重要。
２）画像の式では割り算は２で割る計算のみ。あとは加算と乗算であり、この式からは誤差はほとんど発生しないと考えてよい。
３）楕円の１/４周長の計算を実施し、カシオの計算サイトの出力値と比較。楕円率99.9％の楕円においてようやく2048積分点数で誤差が大きく出現するが、1024点では余裕をもって16桁目四捨五入でも誤差ゼロ。
４）上記結果から推論すると1024点と2048点の中間あたりで積分点と重みの1５桁精度の利用結果が崩れると考えられる。原因は計算誤差(桁落ち）の蓄積。（with Excel2003)
５）４項の積分点と重みのデータに関しては当方のソフトを利用する限り、数万点でも誤差はほとんどでない。
６）積分点と重みのデータに関して精度を保つ理由は、(有）ゴットフット企画のURLにさりげなく記載されている。下図画像で２分法により解を求めたとあります。ニュートンラプソン法を利用してはこの場合は薦められないのです。

梁の補強：合成梁（機械設計技術者試験）

画像は１０年ほど前の機械設計技術者１級の試験問題例(テキストもその頃のもの）。画像が小さくて文字が読み取れないが、この問題の本質は画像で十分捉えられると思う。合成梁の断面２次モーメントさえ判ればあとは容易な計算になる。もしかしたら、もっと容易に計算する方法があるのだろうか？　まともにスラスラ電卓をたたきながらやって３０分はかかりそうである。実務に応用が利くので掲載しました。面白そうなのでエクセルシートで計算したら２次モーメントの計算だけで１５分ほど要した。結果は、重心位置の高さをｍｍで計算してしまってペケだった（数字の切貼りで済ませてしまったのが原因）。電卓作業だったら、確認しながら行うだろうから、単位違いはしないと思うが、時間はもっと要しただろう。

歯車精度：ＪＩＳとＩＳＯ(ドイツ）、ＵＳＡ規格の比較

追記)2015.07.08
本稿は歯車精度に関する比較であり、歯車設計に関する比較ではありません。USAの歯車規格の設計計算とJIS,ISO規格の設計の混在は危険ですから
おやめください。特に歯形係数のUSAの算出式は、独自の計算式であり、この算出値をISO,JISの歯車強度の計算式に当てはめることは厳禁です。
USAの航空機設計に採用されている歯形係数を、より進んだデータとしてとらえて、ISOの歯車強度計算式に導入を勧める書物を見かけますが、間違いです。歯車設計の場合はUSAの歯形係数を採用するなら、歯車強度計算式もUSAの設計計算に対応する必要があります。歯車強度の計算式はUSAとJIS、ISOでは全く異なります。

極めて大雑把な比較ですが、それでもこのような表があるだけ、ましかもしれません。小原歯車工業社の資料では次のように記載しています。
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平歯車およびはすば歯車の精度
従来から広く使用されてきた歯車精度に関する規格JIS B 1702：1976 (平歯車およびはすば歯車の精度)がISO規格に準拠することにより、大幅に変更されました。
新歯車精度規格は、JIS B 1702-1：1998 （円筒歯車ー精度等級　第1部：歯車の歯面に関する誤差の定義及び許容値)とJIS B 1702-2：1998 （円筒歯車ー精度等級　第2部：両歯面かみ合い誤差及び歯溝の振れの定義並びに許容値)です。
これらの規格から抜粋した精度に関する表を記載します。
なお、新規格の精度等級の表示方法は旧規格との混同を避けるため、接頭にNを付け、N○級と呼称表示します。

<新旧比較>
これら新JIS規格を旧JIS規格との比較を試みると、モジュールや基準円直径(旧JISでは基準ピッチ円直径)の区分が異なっているために、例えば、旧JIS4級が新JISでは何級に相当するかについて詳細に対比させることはできません。
おおよその目安として、新JIS精度等級＝旧JIS精度等級＋4（級）といわれますが、この目安が適用されない部分も多くあります。
旧図面の歯車精度の見直しを行う場合等で、新旧の精度等級の変換の必要が生じた際には、（社）日本歯車工業会発行の 「JGMA/TR0001 (2000): 新旧JIS歯車精度の規格値対比表」 をご参照ください。
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３次、４次方程式の解 改訂版を公開

３次、４次方程式の解を求めるソフトを改訂し、公開しました。解法は解析解(数値演算は利用しない）で求めています。従来のソフトは廃却しました。お試し版は一部機能制限があります。有償版は機能制限は一切ありません。複素数解にも対応しています。係数に複素数を対応させる版は予定していません。有償版の譲渡価格は2,000円とします。従来の案との違いは、プログラムコードのプロセスの改訂、グラフの表示範囲の変更を可能にする機能を設定しました。出力結果については従来版と変わりはありません。お試し版は右下のリンクからどうぞ。

Ａｕｔｏｃａｄ ＬＴ ：基準点から角度線の描画

角度線を描く場合、マクロを組んで利用していますが、下記の方法もあることを教えて頂いた。

角度のある線を描く｛長さ200の線を角度5.7130584°で描画の場合｝

線分ボタンをクリック→楕円センターをクリック→@200.<5.7130584」→ENTER

ばねの固有振動数(共振振動数）の諸式

画像は下記ＵＲょり引用。
http://www.efunda.com/DesignStandards/springs/spring_frequency.cfm
ばねの固有振動数に関する式の由来とパラメータに応じた緒公式の説明です。尚、下記ＵＲＬをも参照。
http://m-sudo.blogspot.com/2009/05/blog-post_04.html　（ばねの共振域の計算）

ばねに関するジオメトリ

画像は下記ＵＲＬより引用。
http://www.efunda.com/DesignStandards/springs/spring_frequency.cfm
ばねの展開長さ（成形に必要な長さ）、ばねのつるまき角の式が記載されています。

引張りばね：集中応力、安全率

画像は下記ＵＲＬより
http://www.efunda.com/designstandards/springs/spring_extension.cfm
引張りばねのフック部の集中応力の計算式。もう一つは引張りばねの最大応力は同じ仕様の圧縮ばねの３/４相当と記載されています。圧縮ばねに作用する最大せん断応力が４Ｎ／ｍｍ＾２であれば同じ仕様の引張りばねの最大せん断応力は３Ｎ／ｍｍ＾２とするということです。
過去に引張りばねの計算式を下記ＵＲＬに記載しています。異なる観点からのフック部に作用するせん断応力の計算式になります。
基本的には下記ＵＲＬの計算式を推奨します。
http://m-sudo.blogspot.com/2009/08/blog-post_6240.html

測定：三次元測定器

画像は下記ＵＲＬより引用
http://www.fitc.pref.fukuoka.jp/kigyo_shien/setsubi/keirin/3d.htm
加工物の形状寸法測定に欠かせない設備。現在では部品加工メーカーでは必須の設備です。平行度、直角度、振れ度、ほとんど万能ですが、計測対象物にサイズの制限、重量の制限があり、また、計測精度自体甘い欠点があります。振動吸収設備、恒温環境室は必須。ブロープによる校正作業がやや大掛かりな欠点があります。加工メーカーに製作依頼するときこの設備の有無が必須の条件にされるほどです。また樹脂などで3次元モデルを測定して３ＤＣＡＤ上でモデル作成するなど、零細業者には精度は粗くても計測装置を自前で製作しているところもあります。このような場合は精度は1ｍｍ前後でも許容してしまうので恒温環境は意味がない。

内径測定器：シリンダゲージ

画像は下記ＵＲＬより。　株式会社　ミツトヨ
http://www.toyokohan.com/mitutoyo/cylindergauge/mitutoyo_cylinder_gauge_cg-a.html
穴の計測には過日、ボアマチックを紹介したが、ボアマチックは小径、浅穴の計測が基本ですが、大径、深穴用途にはシリンダゲージが必須となる。シリンダゲージは校正が面倒なために、校正用のブロックなど自前で作成しているところもあります。当然のことですが、ＩＳＯ規格に沿った恒温環境：温度23℃、湿度50％（24時間連続環境）が必要になります。深穴の円筒度などの検査にはこの機器しかない。欠点は計測に慣れが必要なこと。

数値積分の利用

この半年はソフト開発についていえば、楕円に関する問題にかかりきりでした。ガウス-レジャンドル法の活用方法を理解することでようやく決着がついた。きっかけは、楕円の弧長計算について、シンプソンの数値計算の結果の誤差があまりにも大きすぎるという指摘がユーザーからあったことですが、それがほぼ一ヶ月前のことですから、本腰を入れたのはそれからということになります。上記のように数値積分には2通りの方式が主たる計算法ですが、精度といい速度といいガウス-レジャンドル法が優れているのに、何故か、一般に参考書の記述はシンプソン法が主体となっている。おそらくはガウス-レジャンドル法の積分点の精度とか重み係数とかそういうデータが限られているのが原因なのだと思います。それにしてもガウス-レジャンドル法の利用の威力は癖の強い関数でも的確に対応できることだろう。ガウス-レジャンドル法のアプローチとして下記ＵＲＬはとても参考になった。ただ、そこのＵＲＬの説明に大きな抜けがあるために随分と回り道を食ってしまった。この抜けを調べるよりは当方のフリーソフト（ガウス-レジャンドル法の積分点と重みを求める）を利用される方が効率的です。プログラムコードを公開しているのでそのコードと上記参考ＵＲＬのコードの違いを探したほうがよい。
参考ＵＲＬ：http://homepage1.nifty.com/gfk/Gauss_Legendre.htm
当方の作成したソフトの説明：
http://m-sudo.blogspot.com/2009/09/blog-post_528.html

紹介：楕円の部分弧長-角度変換ソフト(β版）

追記　2015.06.21　有償になりました。（コード非公開）
http://m-sudo.blogspot.jp/2015/02/blog-post_19.html


改めて紹介いたします。前回の紹介ブログは廃棄します。部分楕円（図中斜線部）の面積の出力も可能にしました。当面は無償公開とします。シートから画面を切り替えるとガウスレジャンドル積分点の算出ソフトになります。（下図参照：楕円弧長計算の場合は点数1024に設定してください。楕円率99.9%まで13桁の精度で計算します。精度は予想ですが。）尚、長半径(a)と短半径(b)を同じ数値にした場合は円の計算になります。ソフトの取得は右下のリンクからたどってください。
追記）　フリーソフトを公開しました。必要な方は下記URLより入手されてください。（2010.09.20 記）
　　　　　http://m-sudo.sakura.ne.jp/soft_data/Gauss_Legebdre_quadrature_100919_a_.zip
　　　　　説明URLは下記
　　　　　http://bluesutou.blogspot.com/2010/09/blog-post.html
　　　　　http://m-sudo.blogspot.com/2010/09/blog-post_20.html

射出成形：池上金型工業

画像は　池上金型工業株式会社のカタログ紹介のＷｅｂ。
http://www.ikegami-mold.co.jp/otone/index.htm

ここのカタログは内容が充実している。著作権に関わりそうだが、ほんの一部を紹介しよう。下図はエジェクタピン（段付丸棒）の座屈強度に関する計算例。部品カタログとしても信頼性を抱かせるだけのものがあります。

内径測定器：ボアマチック、デジマチック

上記画像はミツトヨ製のボアマチック。H5～H10はめあいの穴径の測定に利用。真円度、円筒度などの計測にも便宜的に活用する。(但し、形状公差の判定は３次元測定器の利用が本筋）このような機器を扱う場合は恒温環境室でＩＳＯ規格に沿った空調管理の行き届いた計測室が必要になる。ちなみに室温23℃、湿度50%をほぼ24時間コントロールする必要があります。


デジマチック。ボアマチックと同じ機能だが、デジタル計測により1μの計測も可能。
企業によっては(特に半導体関連）受入れ検査でフル稼働しているメーカーもある。３次元測定器による検査も行って不良品率が月平均3～5％も見つかったりする。これが通常なのか罰金ものか聞きたかったがさすがに面と向かっては聞きにくい。しかし、むやみと精度をとりすぎる設計者も設計者である現実もあるのかも知れない。

工具：パイプレンチ

画像は下記ＵＲＬより引用しました。　岡野機器株式会社
http://www.okanokiki.co.jp/gijutsu/kougu/25.htm

振動制御：スライダクランク機構

画像は下記ＵＲＬより
http://mori.nc-net.or.jp/EokpControl?&tid=220298&event=QE0004
ちょっと経験者でなければここまでの考察はまず無理だろう。貴重な質疑応答です。

警鐘：機械設計技術者の周辺

画像は下記ＵＲＬより引用
http://monoist.atmarkit.co.jp/fmecha/articles/morimori/01/morimori01_a.html
是非上記の参考ＵＲＬを読まれて頂きたい。黄色枠の相談者の声は日本では多くの共通現象となっている感じがします。例えばＣＡＤモデラー、ＣＡＤオペレータと設計技術者のすみわけが現実の姿になっている状態に現代が置かれている今、必然の姿でしょう。技術者の派遣業が認められてたころから予想されている実態です。設計業を誤解される産業界の縮図が見えるような気がします。機械設計は分業化が進んでは駄目な最先端の分野です。上記ＵＲＬにアドバイサーの方が指摘されているように、ＩＳＯ９００１に沿った設計審査書が作成できるレベルにあってこそ設計の横への広がりを持った幅広い見識を統一的に俯瞰できる能力が育ちます。この環境が日本国内では技術の海外移転とともに衰えてきているような予感が私にもあります。ＩＳＯ９００１の設計審査書作成には多くの文献の根拠が求められますが、その判断力は経験からも育てられます。４０歳代で設計現場からスポイルされることが今では３０歳代でも当然とされることが当たりまえの雰囲気があるとき、その企業は転落への道に入っていると思う。ところで、当方のブログの内容から設計審査所作成の根拠とされないようにしていただきたい。ここのブログはあくまでも道標のヒントを提供しているレベルと位置つけてほしい。

人間工学：手のひらの動き

画像は下記ＵＲより
http://www.productdesignforums.com/index.php?showtopic=2729
ＵＳＡの人たちの体格をベースにした手のひらの動きの範囲を示す。単位はインチ。このデータを基に3次元ＣＡＤ　Ｐｒｏ／Ｅｎｇｉｎｅｅｒでデータムカーブでモデル化することも考えよう。日本人の場合とかは、自分のサイズを計測して図のデータと比例させるとよい。
尚、下記ＵＲＬから詳細なデータを入手可能です。（旧通産省工業技術院）
http://riodb.ibase.aist.go.jp/dhbodydb/91-92/

作業環境：デスクワークの場合

上記画像は
http://www.jns.info/tukusi10.html　より引用。

人間工学：椅子に座る姿勢

画像は下記ＵＲＬより引用。
http://ecg-co.blogspot.com/2009/01/blog-post_14.html

画像は下記ＵＲＬより引用。　浜本工芸株式会社
http://www.hamamotokougei.co.jp/products/dining.html
現在、Ｗｅｂには人間工学に関するオープンサイトは余り見受けられません。人間工学に関する著作としては朝倉書店の刊行物が充実していると思います。人型の平均サイズ、視野角、腕脚の動作可能範囲など丁寧に記載されています。設計者が購入して損はないと思います。

サーバーの回復

サーバーがようやく回復しました。まだ完全ではないのですが、ソフトの整備とあわせて随時更新のたびに本ブログ上で更新連絡を実施する予定です。

耐熱鋼：SUS304

画像は下記ＵＲＬより引用　株式会社サンワアイ
http://www.sanwa-i.co.jp/lab/01.html
高温環境とうことで材料の選定について、設計者の多くは程度の差こそあれ経験していることと思います。材料選定の基本はSS400系、S45Cなどの鋼材を中心に選択、その延長上に合金鋼、ステンレス鋼の選択、さらにその延長上にハステロイなどの特殊合金鋼と範囲を広げてゆきます。通常の設計であれば、SS400,S45Cを中心にした材料選択で十分な筈ですが、私の眺めるところ安易にステンレス材を利用しすぎると思わないではいません。ステンレス材は高価でありまた加工技術も面倒で加工業者から嫌がられる材料の一つということを心しておきたいものです。しかし、それでもステンレス材を利用せざるを得ないとなったとき、ステンレス鋼の利用範囲特徴を的確につかんでおく必要があります。上記はそのガイダンスとなりうると思います。通常６００度～８００度の範囲でしたらオーステナイト鋼としてSUS304で十分です。

環境対策：ＣＯ２削減の技術

下記ＵＲＬ　毎日新聞社記事より引用。
http://mainichi.jp/select/science/news/20090830k0000m040106000c.html

位置エネルギーと運動エネルギー

運動エネルギーと位置エネルギーの変換に伴う演習例：ジェットコースターなどに見られますね。

演習：摩擦継手の条件

画像は下記ＵＲＬより引用
http://www.engin.brown.edu/courses/en3/Notes/Statics/friction/friction.htm
図の構成で摩擦継手を機能させる条件を求める例題です。摩擦継手に関しては既に国内のメーカーからも製品が売られていますね。下図参照。

画像は下記ＵＲＬより　イーグル・クランプ株式会社
http://www.eagleclamp.co.jp/

楕円の周長を求める近似式

上図は当方での検証結果です。当方のガウスレジャンドル法によるソフトでは14桁目の４捨５入値までが精度許容範囲でした。精密な楕円周長の計算には簡略式はどの例でも使えないことが判明しただけでも収穫があったと思います。

画像は楕円の周長を求める式（概略値）を並べてみました。
最初の式は第２種楕円関数を展開した式です。５次まで記載していますが、楕円率が大きいとどこまで展開しても収束が緩やかになってしまい、精度的にはちょっと？です。しかし、楕円率が低い程、高い精度を持ちます。２番目の式は現在で最も高い精度の値を算出する式ということです。この式ではどんな楕円形状であっても、最大誤差は0.3619％(e=0.979811の時）を超えることはないといわれています（a=100.b=20の時はe=0.979796)。３番目の式は伝統的に高精度の概略式として利用されてきた式です。意外と楕円率が低い場合、高い精度を算出します。国内のＵＲＬにはこの式よりさらに粗い値を算出している式を掲載しているのを見かけます。画像はＥｘｃｅｌシートで作成しました。（私、まだ精度の検証はしていません。）もう一つですが、エクセルで画像のような数式表示が可能なのですが、どのようにすれば、きちんと画像のように数式の記述が可能かはまだわかりません。

追記；楕円（部分を含む）周長を求めるソフトを下記ＵＲＬにて無償公開しています。
http://m-sudo.blogspot.jp/2012/07/blog-post_12.html
（よほど真円に近い楕円形状でなければ小数点以下１０桁までの高精度演算結果を提供します。）

追記：下記のようなデータもあります。
出典：http://www.engineersedge.com/area_properties/ellipse.htm

追記：楕円周長展開式の精度

　　　http://m-sudo.blogspot.jp/2014/08/blog-post_10.html

設計基準：開口レンチの動作範囲

画像引用元は下記。
http://www.engineersedge.com/general_engineering/open-end-wrench_clearance.htm

ＪＩＳ関連ではこのような設計基準データを見かけたことがない。最小ボルトピッチ基準ではあったようだが。画像はインチ規格のレンチが対象。

追記）　ＩＳＯ規格に対応する関連資料が見つかりました。英国標準ですが、ＪＩＳも準拠してよいと
　　　　思います。

上図の出典は下記ＵＲＬ。

http://www.roymech.co.uk/Useful_Tables/Screws/Head_Clearances.html

http://www.roymech.co.uk/Useful_Tables/Screws/Edge_Dist.html

機械材料：特殊鋼の性質：用途

引用は下記ＵＲＬより。　白銅株式会社
http://www.coguchi.com/
試作屋にはとても重宝する材料屋さんです。以前も紹介したかもしれませんが、かまわずＵＰします。

面積：三角形

単純な三角形の公式。３辺の長さから面積を求める式の由来は？

油圧シリンダ：クッション機能計算

画像は下記ＵＲＬより引用。　日本シリンダ共同事業株式会社
http://www.nck-ltd.co.jp/pdf/nck_n07_n14-8.pdf
油圧シリンダーのクッション機能に関する計算式
私はこの計算式を利用した経験は全くない。そもそも、ＪＩＳ規格の標準シリンダすら利用経験がない。ホイールローダやユンボなどに利用されているような形のシリンダーしか利用経験がないといってよい。クッション機能は普通利用しない分野です。もしかしたらシール部などの耐久度が異なる世界の話になるのかもしれないが。上記ＵＲＬのシリンダ座屈計算の項目をみるとロッド径だけで計算している世界なので、そこからしても当方の経験とは別世界の話なのです。ただ、ＪＩＳの標準シリンダを利用される場合は上記計算などは上記紹介ＵＲＬに記載された式を利用するべきでしょう。

サーバーメンテナンスの報告

ご利用の皆様へ
最近、ファイルをサーバーに送信することが不可能のため、サーバーの保守をこれから行います。データのダウンロード（ソフトウエア）に支障があるかと思います。ご不便をかけますが、ご了承ください。ブログ情報のｕｐは今まで通りです。連休明けには回復する予定です。よろしくお願いいたします。

楕円弧長計算の式

私自身ががよく間違えるので確認用にＵＰしておきます。下記は不完全第2種楕円積分 Ｅ（θ，e) と　楕円の長半径a で表現されます。

ここで e は次の式で与えられます。（この e のとり方でよく間違えるのです。b は楕円の短半径を示す。）

上記式中　楕円形状の記号関係は下図の通り。θのとり方に注意。

追記：楕円周長を求める近似式について
　　　　http://m-sudo.blogspot.com/2009/09/blog-post_22.html
　　　　楕円弧長の精密解（14桁）を求めるソフト(Excel_VBA：フリーソフト)
　　　　http://bluesutou.blogspot.com/2009/09/blog-post_24.html

　　　　近似式に関する考察
　　　　http://m-sudo.blogspot.jp/2014/08/blog-post_10.html

追記：2015.06.21　下記が最新情報です。
http://m-sudo.blogspot.jp/2015/06/blog-post_19.html

製図データ：スラスト自動調心ころ軸受け

スラスト自動調心ころ軸受けの断面図例。JIS規格ではないことに留意。但し、旧JISB0005-1973の規格です。
追記：他の軸受け形式については下記URLを参照のこと。
玉軸受け----
http://m-sudo.blogspot.com/2009/09/blog-post_4359.html
円筒ころ軸受け----
http://m-sudo.blogspot.com/2009/09/blog-post_19.html
針状ころ軸受け、円錐ころ軸受け----
http://m-sudo.blogspot.com/2009/09/blog-post_9814.html
自動調芯ころ軸受け、単式スラスト玉軸受け----
http://m-sudo.blogspot.com/2009/09/blog-post_5434.html
複式スラスト玉軸受け----
http://m-sudo.blogspot.com/2009/09/blog-post_1674.html

製図データ：複式スラスト玉軸受け

複式スラスト玉軸受けの断面図例。JIS規格ではないことに留意。但し、旧JISB0005-1973の規格です。
追記：他の軸受け形式については下記URLを参照のこと。
玉軸受け----
http://m-sudo.blogspot.com/2009/09/blog-post_4359.html
円筒ころ軸受け----
http://m-sudo.blogspot.com/2009/09/blog-post_19.html
針状ころ軸受け、円錐ころ軸受け----
http://m-sudo.blogspot.com/2009/09/blog-post_9814.html
自動調芯ころ軸受け、単式スラスト玉軸受け----
http://m-sudo.blogspot.com/2009/09/blog-post_5434.html
スラスト自動調芯ころ軸受け----
http://m-sudo.blogspot.com/2009/09/blog-post_6994.html