３次スプライン補間法

画像は下記ＵＲＬより引用しました。
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/numeanal1/node16.html

なにやら難しい話になってしまいましたが、歯車の歯の曲げ強度計算の歯形係数を定めるＳ値、ｌ値を求めるためにはどうしてもこの課題をクリヤしなければならない。連立式を解くために行列と逆行列の演算技術が要る。Excelの散布図は極めて正確なのにそこから得られるグラフ式は概略的で使い物にならない。前の書き込みでの別ソフトを利用すれば６桁は的確な精度で解が得られる（この精度は凄いとしかいいようがない。４次方程式で求めた解を検算で確かめたら１０を基準数値として、小数点以下五桁までは０が並ぶ精度です。２次式ならいざ知らず５次式でこの精度は凄い。）。しかし、外部のソフトを利用する限りは、ソースコードが公開されない限りはExcelと連動できないのが手痛い欠点になる。３次スプライン補間を利用すればこれまた高い精度で解が求まった。現在、歯元のトロコイド曲線のデータ点数を５分割（６点）と定めた上での固定計算なのでこれではＥｘｃｅｌで利用するにはやはり不便で、この曲線部を最大２０分割程度でも可変数値に連動できるようにする工夫が難しいがなんとかしようというのがコード化の動機です。現在、方程式の確立まで７割程度まで完成した。Ｓ値が定まると歯形係数の算出になるが、この算出の方法が緒論あって、判断に迷う。この件は後日稿を改めて書くとして、実際の強度計算には現在ＪＩＳ本（ＪＩＳには規格がないが）に紹介されている式では量産製品設計では致命的な間違いを演ずることになるのが現実と思います。強度に余裕がありすぎる事が理由です。ここまで構想をめぐらしたときに、先述のＳ値は正確に算出しなければ意味がないと考えたのが今回の３次スプライン補間法のプログラム化に繋がってしまった訳です。特に切下げを余儀なくされた場合の計算には不可欠と思います。S値（30°接線法による歯元厚さ）、ｌ値（30°接線法による三角形の長さ）
注）30°接線法の代わりに応力の等価楕円で計算する論文もある。この場合にも基準は上記のＳ値になる。
追記）誤差について記したが曲線部を分割して分割区間を直線で繋ぎ直したとき、元の曲線と目視でほぼ重なる程度の分割数が必要である。切下げ歯形の歯元ではカーブがきつくなるので６点構成では誤差は取れないですね。
追記：　下記ＵＲＬで３次補間式を利用した実例を紹介しています。対象のソフトは数週間後にＶｅｃｔｏｒから公開予定です。（2009.04.15ベクターからの公開予定は中止しました。）
http://m-sudo.blogspot.com/2008/11/blog-post_379.html
http://m-sudo.blogspot.com/2008/11/blog-post_13.html