2009年5月3日日曜日

近似楕円と真楕円の描画誤差(CAD)

近似楕円の描画過程。結構煩雑ですが、工学的に意味のある楕円を得るためには仕方がない側面があります。3次元CAD Pro/E があればパラメトリックに近似楕円が容易に得られます。

0.046mm内側に真楕円弧があります。(見えなくてすみません。)






画像は当方で作成した近似楕円と真楕円の描画誤差(AutoCAD LT)を調査した画像です。緑色の弧は近似楕円(円コンパスで作成)、濃紺色の弧は真楕円(AutoCAD LTの機能を利用して描画)した状態です。(弧上ハイライトしている個所はズレが大の個所です。)この描画した楕円は直径14.14mmの円柱を45°傾いた平面でカットすることで得られる楕円を示します(長径は20mm)。45°より真円に近づくほど誤差は少なくなります。板金プレスなどである程度の楕円近似が必要な形を得たい場合参考になるかと思います。機械、建築、土木工学的には真楕円よりはこの近似楕円の利用が望ましい側面もあると思います。この近似楕円の描画方法はリンクまたは下記URLから得られます。
http://bluesutou.blogspot.com/2008/10/blog-post_22.html

5 件のコメント:

匿名 さんのコメント...

Ishikawa と申します。投稿の仕方が分からないので、取り敢えず書き込んでみます。
2009/5/3 の文書に関してですが。
12分割の近似円弧の計算結果が、図に出ていますが、真ん中の円弧の値をもう一度見直して頂いたらいかがでしょうか。
図から、中心の座標(-2.08008,-1.69162)
半径8.37454
となるようですが、これですと、右の円弧とは「接してなくて、交差してしまう」、また
左の円弧とは「接するか、接しないかのギリギリのところ」のようです。
私が計算したところ、
中心の座標(-2.05641,-1.71939)
半径8.40896
になるのですが。
私の理解不足の可能性大ですが、その際は失礼をお許し頂きたく存じます。よろしくお願い申し上げます。
2010/2/17

m-sudo さんのコメント...

Ishikawa 様
適切なコメントをありがとうございました。確かにご指摘のようによく手順を追って記してみると間違っていました。ただ、紹介元の英文のURLの記述の翻訳は間違っていないので、小生、長らく原因が不明でした。ある偶然のきっかけでおそらく正確な近似楕円の描画方法を知りました。
下記URLに掲載しましたので参照お願いいたします。返信がたいへん遅れてしまい申しわけありませんでした。

m-sudo さんのコメント...

追記、URLの記述を失念しました。
下記の通りです。
http://m-sudo.blogspot.com/2010/10/blog-post_25.html

匿名 さんのコメント...

Ishikawa と申します。(Sudo 様の 2009/5/3 の掲載文書に関しての) 2010/2/17 の私の投稿に対し、返信のコメントを頂き、ありがとうございました。
その中で「おそらく正確な近似楕円の描画方法」とのことで、2010/10/25 の文書のご紹介がありました。また、参考文献の図「Five-Centered Arch」に関して、OM=LD というのが間違いらしいとの記述もありました。
2009/5/3 に解説されている近似楕円を 0905 方式と呼ぶことにし、2010/10/25 の方を 1010 方式と呼ぶことにして、少し述べさせていただきます。
OM=LD が間違いというご指摘は、0905 方式についてのようですが、0905 方式は OM=LD で良いようです。
0905 方式について計算・解析してみましたが、3 つの円弧がスムースにつながり、近似円弧による楕円が描けます。(スムースというのは、隣り合う円弧の接線が共通となり、凸凹しないということで、実の楕円との偏差=誤差はそれなりにありますが)
1010 方式については、Sudo 様の掲載文書や参考 URL を見たばかりで、まだ計算・解析していませんので断定は出来ませんが、3 つの円弧がスムースにつながり、近似円弧による楕円が描けること、誤差も 0905 方式と同程度ではないかと思います。
両方が同程度の精度であって、1010 方式の方が「正確な近似楕円の描画方法」ということではないと思います。
0905 方式は 3 つの円弧の内、右側の半径=a^2/b、真ん中の半径=Sqrt(a*b)、左側の半径=b^2/a となります。
1010 方式は、右側=a^2/b、真ん中=(a+b)/2、左側=b^2/a となります。
つまり、大小に挟まれた(大小をつなぐ)真ん中を、幾何平均を取るか、算術平均を取るかの(描き方の)違いであって、両者に方式上の優劣はないのではないでしょうか。
1010 方式について計算・解析して、以上の私のコメントを訂正する必要があれば、再度お詫びを兼ねて投稿させていただきます。以上、ご検討いただければ幸いです。
2010/11/07

m-sudo さんのコメント...

コメント有難うございます。作図の凄さというのを楕円という数式的に厳しいものでもそれなりに描ける事に感動しています。参考の英文の説明の後半には接線を描く手順も示されています。書き込まれた趣旨を当方も謙虚に受け止めておき、じっくり検証してゆきたいと思います。