2009年7月30日木曜日

楕円周長を求める歴史的変遷


上記画像は下記URLより引用
http://home.att.net/~numericana/answer/geometry.htm#ellipticarc
中段にP/(2*π*a)の展開式が記載されている。この展開式の項数を増加してゆくと第2種楕円積分の解に限りなく近づいてゆく。この展開式の計算が非常に面倒なために、近似的な解を求める歴史的な変遷が記載されている。現在は図中(5)の式が最も近似的な計算式になり、最大の誤差は0.3619%とされている。確かにこの式でエクセルでの計算は容易でその意味では実用的です。国内のURLではこの式に関する記述はどこにもない。P/(2*π*a)の級数展開式が記載されていることは、有限回にしろ何らかの形で、楕円周長から長径、短径の組み合わせをニュートンラプソン法で数値計算で求める手段の存在を示唆している。最大の誤差が0.3619%で構わなければ、数値計算ではなく直接数式解で求めることが可能なことを示している。

尚、この記述の別稿に江戸時代の日本の数学者、関孝和(1642-1708)の業績が評価されている。関孝和の示した式の誤差は最大1.35%と評価されているのである。


ちなみにオイラー(1773)の示した近似解の精度は11%とのこと。


追記:Ynot の式、現在、一般に利用されている式、当方の作成したソフトの算出結果を比較したurlは下記を参照。
http://m-sudo.blogspot.com/2009/09/blog-post_22.html

1 件のコメント:

nyoi さんのコメント...

こんにちは。通りすがりの設計者nyoiというものです。
いつも貴ブログを拝見させていただいております。

私も楕円周長の計算を調べておりました。精度を求めるのであれば、収束計算するのが良いのでしょうが、近年も高精度の収束計算によらない新しい近似式が検討され公開されているようです。

http://www.ebyte.it/library/docs/math07/EllipsePerimeterApprox07.html

↑こちらのwebサイトに楕円周長の近似式について面白い記事がありました。
2006年に検討された「Optimized Ahmadi」という近似式が現在知られている中で最良の近似(currently the best known approximation)のようです。
また、「Reduced Ahmadi」という近似式もあり、係数が減った割りに、「Optimized Ahmadi」とほぼ同じ精度のようです。

御存知かも知れませんが、参考までにコメント致しました。