2009年9月7日月曜日

数値積分:ガウス_レジャンドル法の薦め

ガウス_ルジャンドル法利用の特徴。
1)現在の主流のパソコンでMicroSoft社の、windows XP,Excel2003環境下で第1種~第3種の楕円積分値を倍精度演算により、瞬時に求めることが可能
2)楕円周長計算の実験では、レジャンドルの積分点数1024前後に15桁精度の計算結果が得られます。扁平さでは長半径100mm、短半径0.1mmの楕円、長半径100mm、短半径99.9mmの楕円で15桁の精度を確認しています。よりいびつな楕円でも可能かもしれませんが、そのいびつさ(真円さ)には限界が存在します。
3)積分式が関数で連続関数として一意に示されることが可能なら、積分範囲を区分する方法でどのような関数でも積分可能。
4)積分点数、重み係数の算出はプログラム作成によって、無限に点数をことが現在のパソコン利用の元でで理屈では可能。但し、数千点になると時間的に冗長になります。1000桁以上は表としてまとまったデータとして保管しておいて、それを利用する方が得策です。

ガウス_ルジャンドル法では下記URLがお勧めです。簡潔にして単純な説明です。http://www.holoborodko.com/pavel/?page_id=679 

著者は日本の祭りをも紹介しています。ここに記載された一部を画像として紹介します。
この説明からプログラムコードをゼロから作成しなおしたところ、現在のPCの精度(おそらくC++言語を含めて)環境下で、楕円関数(第二種楕円積分)の15桁の精度が確認できました(Excel VBA)。この確認にはCasio社のURLが大変参考になりました。計算速度も精度も、シンプンソン式など問題としません。驚嘆しました。楕円周上の有限範囲の弧の長さから長径、短径を高精度に求める見通しがまもなく立つでしょう。インタネットに感謝です。下図はCASIO社の計算URLです。
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi  カシオ計算機株式会社

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